原问题： 在一个大小为$m\times n$的矩形里(m,n都为正整数)，A为矩形的左下角，B为矩形的右上角，一个物体只能向右或者向上移动且每次只能一个1个单位的距离，问物体从A到B有多少条路径？ 很显然，每条路径的长度都等于$m+n$，且任意一条路径都可以完整地投影在矩形的一条边上。通过简单的分析可以知道每条路径在m边上都要走m次，在n边上都要走n次。 现在我们将一条长为n的线段分割为长度都为整数m+1段（每段长度可以为0），并从前往后标记为0到m，保持0号段位置不变，1号段向上平移1个单位，2号段向上平移2个单位…m号段向上平移m个单位，然后将每一段的尾部与它后一段的头部用直线连接。 经过上述过程，我们就得到了一条从A到B的路径。 可以看出，不同路径之间的区别仅在于把长为n的线段分割为m+1段的方法不同，只要分割方法一确定，就可以按照上述平移方法形成路径。 因此路径的条数也就是线段分割的方法数了。 而线段分割问题又等同于将n个相同的球放进m+1个不同的盒子里，盒子可以为空。 这样就简单了，从$n+m$个位置里面选出$m$个位置作为隔间，其余位置填充小球就可以得到一种分法，因此方法数为$\binom{m+n}{m}$ 这是一类在实际中出现很多的计数问题，可以归结为求包含重复的组合数: 从含有n个元素的集合中选出可以重复的r个元素，其方法数为$\binom{n+r-1}{r-1}$